Садржај
- фазе
- За почетак
- 1. метод. Поступак покушајем и грешком
- Метода 2 Наставите декомпозицијом
- 3. метод "Трострука игра"
- Метода 4 Разлика два квадрата
- Метода 5 Коришћење квадратне формуле
- 6. метод Коришћење калкулатора
Полином је састављен од променљиве (к) уздигнуте до одређене снаге која се назива степеном полинома и неколико других термина нижих степена и / или неколико других константи. Факторизирати полином другог степена (који се такође назива „квадратна једначина“) значи смањити почетни израз на производ израза мањих степени који се могу множити један за другим. Ово знање је део средњошколског курса и више, па је овај чланак можда тешко разумети ако још увек немате потребан ниво математике.
фазе
За почетак
-
Напишите свој израз. Стандардни облик једнаџбе другог степена је:ак + бк + ц = 0
Започните сређивањем услова ваше једначине према редоследу сила, од највећих до најмањих, као у стандардном облику. Узмимо за пример:6 + 6к + 13к = 0
Овај распоред ћемо преуредити тако да олакша рад једноставним померањем израза:6к + 13к + 6 = 0. -
Пронађите факторски фактор помоћу једне од метода објашњених у наставку. Факторизација ће дати два краћа израза која ће дати почетни полином ако их множимо један за другим:6к + 13к + 6 = (2к + 3) (3к + 2)
У овом примеру су (2к +3) и (3к + 2) фактори почетног израза, 6к + 13к + 6. -
Проверите свој рад! Помножите факторе које сте идентификовали. Затим комбинујте сличне појмове и бићете готови. Започните са:(2к + 3) (3к + 2)
Почнимо тестирати овај израз, множећи изразе два израза да бисмо добили:6к + 4к + 9к + 6
Одатле можемо додати 4к и 9к јер су изрази истог степена. Тада знамо да су наши фактори тачни, јер добро падамо на израз одласка:6к + 13к + 6.
1. метод. Поступак покушајем и грешком
Ако се бавите прилично једноставним полиномом, требали бисте бити у могућности да нађете његову декомпозицију као факторски производ на први поглед. На пример, многи математичари су у стању да виде тај израз 4к + 4к + 1 даје факторе (2к + 1) и (2к + 1) по навици и искуству (очигледно да то није тако једноставно у случају сложених полинома). За овај пример узмимо мање уобичајен израз:
.
-
Направите листу фактора коефицијента има и Ц. Користећи израз форме ак + бк + ц = 0, идентификовати коефицијенте има и Ц и навести одговарајуће факторе. За: 3к + 2к - 8, ово даје:а = 3 и има само један пар фактора: 1 * 3 ц = -8 и четири пара фактора: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 и -1 * 8.. -
На свој папир напишите два пара заграде са размаком да бисте записали унутар њих. Унесите константе за сваки израз у предвиђеном простору:(к) (к). -
Пре к, напишите пар могућих фактора за коефицијент има. За коефицијент има у нашем примеру 3к постоји само једна могућност:(3к) (1к). -
Затим два преостала празна места попуните с пар фактора за коефицијент Ц. Узмимо за пример 8 и 1. Запишите их:(3к8) (Кс1). -
Одлучите сада за знак (више или мање) да поставите између к и броја који сте поставили за њим. Према знаку изворног израза могуће је пронаћи оно што требају бити знакови константи. позив ч и k константе наших фактора:Ако је ак + бк + ц онда (к + х) (к + к) Ако је ак - бк - ц или ак + бк - ц тада (к - х) (к + к) Ако је ак - бк + ц онда (к - х) (к - к)
У нашем примеру, 3к + 2к - 8, знакови се морају поставити на следећи начин: (к - х) (к + к), што нам даје следећа два фактора:(3к + 8) и (к - 1). -
Провјерите факторски образац поновним развојем. Први брзи тест је да проверите да ли средњи термин има праву вредност. Ако к није добар, можда сте одабрали погрешан пар фактора за коефицијент Ц. Проверите наше резултате:(3к + 8) (к - 1)
Умножавањем добијамо:3к - 3к + 8к - 8
Додавањем сличних израза (-3к) и (8к) ради поједностављења овог израза, добијамо:3к - 3к + 8к - 8 = 3к + 5к - 8
Сада знамо да смо вероватно идентификовали погрешне факторе:3к + 5к - 8 = 3к + 2к - 8. -
Ако је потребно, размените свој избор фактора. У нашем примеру покушајмо 2 и 4 уместо 1 и 8:(3к + 2) (к - 4)
Сада је наш коефицијент Ц је -8, али множења (3к * -4) и (2 * к) дају -12к и 2к, која поред тога не дају увек почетну вредност b, то је + 2к.-12к + 2к = 10к 10к = 2к. -
Ако је потребно, обрните налог. У наш пример претварамо места 2 и 4:(3к + 4) (к - 2)
Сада коефицијент Ц је увек добар, али коефицијенти израза у к су овога пута вредни -6к и 4к. Једном додато, ово даје:-6к + 4к = -2к 2к = -2к Врло смо близу почетне вредности 2к коју желимо да пронађемо, али знак није добар. -
Поново проверите знакове. Сада ћемо задржати исти ред, али ћемо размењивати знакове:(3к - 4) (к + 2)
Коефицијент пре Ц увек је добар, а изрази у к сада вреде (6к) и (-4к). Од:6к - 4к = 2к 2к = 2к Тако добијамо 2к који смо првобитно имали. Тако да смо вероватно нашли праве факторе.
Метода 2 Наставите декомпозицијом
Ова метода ће нам омогућити да идентификујемо све могуће факторе за добијање коефицијената има и Ц и помоћу њих идентификовати који су фактори прави. Ако су бројеви врло велики или су друге методе покушаја и грешке изгледају предуго, можете користити ову методу. Узмите следећи пример:
.
-
Помножите коефицијент има коефицијентом Ц. У нашем примеру, има је једнако 6 и Ц такође је једнак 6.6 * 6 = 36. -
Пронађите коефицијент b факторингом, а затим тестирањем добијених фактора. Тражимо два броја која су фактори производа има * Ц које смо идентификовали и чија сума вреди вредности коефицијента "б" (13).4 * 9 = 36 4 + 9 = 13. -
Уведите два броја која сте управо добили у вашој једначини; ставите их испред к, тако да је њихов збир једнак коефицијенту b. Узмимо писма k и ч да представе два добијена броја, 4 и 9:ак + кк + хк + ц 6к + 4к + 9к + 6. -
Факторисајте свој полином групирањем. Организујте једначину тако да пронађете највећи заједнички фактор прва два термина и највећи заједнички фактор последња два термина. Тада бисте требали добити збир два идентична фактора са факторима. Збројите два коефицијента заједно и ставите их у заграде испред свог факторизованог облика; тада добијате своја два фактора:6к + 4к + 9к + 6 2к (3к + 2) + 3 (3к + 2) (2к + 3) (3к + 2).
3. метод "Трострука игра"
Ова метода је веома слична претходној. Ово се састоји од испитивања могућих фактора за производе коефицијената има и Ц, а затим их користите за проналажење вредности b. Узмимо за пример следећу једначину:
-
Помножите коефицијент има коефицијентом Ц. Као и код методе распадања, и ово ће нам помоћи да идентификујемо потенцијалне кандидате за коефицијент b. У нашем примеру, има је једнако 8 и Ц вреди 28 * 2 = 16. -
Пронађите два броја чији је производ број који је управо пронађен (16) и чији зброј даје коефицијент "б". Овај корак је идентичан ономе у методи распадања - односно тестирамо и одбацујемо кандидате за константе. Производ коефицијената има и Ц је једнак 16, а коефицијент Ц је једнако 10:2 * 8 = 16 8 + 2 = 10. -
Узмите ова два броја и замените их формулом "троструке игре". Узмите два броја из претходног корака - позовимо их ч и k - и увести их у следећем изразу:((ак + х) (ак + к)) / а
Тада добијамо:((8к + 8) (8к + 2)) / 8. -
Пронађите који је заградски израз у бројнику дељив с коефицијентом има. У овом примеру тестирамо да ли (8к + 8) или (8к + 2) можемо поделити са 8. (8к + 8) је дељив са 8, онда ћемо тај израз поделити са има а други израз оставите онакав какав јесте.(8к + 8) = 8 (к + 1)
Израз који овде држимо је онај који остаје након поделе са коефицијентом има : (к + 1). -
Нађите - ако постоји - већи заједнички фактор у обе заграде. У нашем примеру, други израз има већи заједнички фактор 2, пошто је 8к + 2 = 2 (4к + 1). Комбинујте овај одговор са изразом који сте пронашли у претходном кораку. Тако сте пронашли два фактора вашег полинома.2 (к + 1) (4к + 1).
Метода 4 Разлика два квадрата
Неки коефицијенти полинома могу се идентификовати као "квадрати", то јест продукти множења два броја. Препознавањем ових квадрата можете много брже факторисати неке полиномесе. Узмимо за пример једначину:
-
Започните тако што ћете све подијелити у већи заједнички фактор ако је могуће. У нашем примеру видимо 27 и 12, оба дељења са 3, тако да можемо „разбити“ почетни израз на следећи начин:27к - 12 = 3 (9к - 4). -
Утврдите да ли су коефицијенти ваше једначине у квадратним бројевима. Да бисте користили ову методу, требали бисте бити у могућности наћи квадратне коријене за ваше коефицијенте (имајте на уму да ми не сматрамо негативне знакове - будући да имамо посла с квадратима, они могу бити производ два позитивна броја или негативан)9к = 3к * 3к и 4 = 2 * 2. -
Помоћу квадратних коријена које сте пронашли напишите своје факторе. Узмите вредности има и Ц претходно пронађено - има = 9 и Ц = 4 - пре проналаска њиховог квадратног корена - √има = 3 и √Ц = 2. То ће бити коефицијенти наших факторских израза:27к - 12 = 3 (9к - 4) = 3 (3к + 2) (3к - 2)
Метода 5 Коришћење квадратне формуле
Ако су све горе наведене методе неуспешне и не можете пронаћи исправне факторе за своју једнаџбу, тада користите квадратну формулу. Узмите следећи пример:
-
Узмите вредности коефицијената "а", "б" и "ц" и замените их у следећој квадратној формули:к = -б ± √ (б - 4ац)
---------------------
2а
Тада добијамо израз:к = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2. -
Решите једначину да бисте пронашли к. Као што видите горе, требали бисте добити двије вриједности к:
к = -2 + √ (3) или к = -2 - √ (3). -
Да бисте пронашли факторе, користите вредност к. Унесите вредности к претходно добијене као константе два полиномна израза. То ће бити ваши фактори. позив ч и k вредности к и упишите два факторисана облика:(к - х) (к - к)
У овом случају, крајњи резултат је:(к - (-2 + √ (3)) (к - (-2 - √ (3)) = (к + 2 - √ (3)) (к + 2 + √ (3)).
6. метод Коришћење калкулатора
Ако вам је дозвољено да користите графички калкулатор, имајте на уму да ће вам то увелике олакшати задатак, посебно током испита. Ова упутства важе само за графичке калкулаторе марке Текас Инструмент. Узмимо за пример следећу једначину:
-
Унесите једнаџбу у калкулатор. Морат ћете користити "резолуцијску једнаџбу", то јест екран. -
На калкулатору направите графички приказ своје једнаџбе. Након уноса једначине, притисните - тада бисте требали видети графички приказ кривуље (тачније, добит ћете "лук", јер радите на полиномима). -
Пронађите тачке пресека лука са оси к (к). Пошто се полиномске једначине традиционално пишу у облику: ак + бк + ц = 0, то су две вредности к за које је израз једнак нули:(-1, 0), (2 , 0) к = -1, к = 2. - Ако не можете да прочитате вредности где ваша крива прелази оси к, притисните затим. Притисните или одаберите "зеро". Померите курсор лево од једног пресека и притисните. Затим померите курсор десно од овог пресека и притисните поново. Затим померите курсор што је ближе пресеку и притисните поново. Калкулатор ће наћи вредност к. Исто урадите за следећу раскрсницу.
-
На крају, унесите к вредности добијене у претходном кораку у двофакторски израз. Ако позовемо ч и k наше две вредности к, користићемо следећи израз:(к - х) (к - к) = 0
Тако ћемо добити следећа два фактора:(к - (-1)) (к - 2) = (к + 1) (к - 2).
- Оловка
- Папир
- Једначина другог степена (или квадратна једначина)
- Графички калкулатор (опционо)